Narodil se v loutkářské rodině a v londýnském Islingtonu vyrůstal v divadle The Little Angel Theatre, které založili jeho rodiče. Wright studoval výtvarné umění, film a video na Central St. Martin’s College of Art. Po dokončení studií pracoval na hudebních klipech a krátkých filmech až do roku 1997, kdy byl pověřen režií čtyřdílné minisérie „Nature Boy“ pro televizní kanál BBC2. „Nature Boy“ získal cenu Královské televizní společnosti za nejlepší dramatický seriál. Následovalo několik dalších velmi úspěšných minisérií, které byly jmenovány a oceněny řadou cen. V divadelním světe Wright debutoval inscenací hry Arthura Pinera v úpravě Patricka Marbera „Trelawny of the Wells“, kterou v roce 2013 uvedlo divadlo Donmar Warehouse. Následovala úspěšná inscenace „A Season in the Congo“, kterou uvedlo divadlo Young Vic a hlavní roli hrál Chiwetel Ejiofor. Wright je jedním ze zakladatelů filmové a televizní produkční společnosti Shoebox Films se sídlem v Londýně. Wright žije v Londýně se svou manželkou Anoushkou Shankar, která se věnuje hře na klasický sitár, a jejich dvěma syny.